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PG Progressão Geométrica

PG ou progressão geométrica é uma sequência numérica em que os números, a partir do segundo, são obtidos multiplicando seu antecessor por uma constante q, que chamamos de razão. Portanto, a razão ou divisão entre dois termos quaisquer e consecutivos de uma PG é uma constante. Nesse sentido, para calcular a razão de uma PG basta dividir um número pelo seu antecessor.

Índice

Exemplos de progressão geométrica

Observe as sequências geométricas abaixo:

Tipos de progressão geométrica

Como calcular a razão de uma PG

A razão da PG é dada pela divisão de um termo qualquer, exceto o primeiro termo, pelo termo anterior. Com isso, temos a fórmula da razão da PG.

Termo geral de uma PG

Podemos encontrar qualquer termo geral de uma PG ou o total de termos utilizando a fórmula:

Em que:

Observe a explicação de como foi feita a fórmula.

Considere uma PG de razão q:

A partir da sequência acima sabemos que:

Se multiplicarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a2 . a3 . a3 . … . an-1) . an = a1 . (a2 . a3 . … an-1) . q . q . q . … + q ((n – 1) vezes)

Após simplificarmos os termos, chegamos a fórmula:

Exemplo:

  1. Determine o 10º (décimo) termo de uma PG sabendo que a1 = 2 e q = 3.
    Nesse caso, vamos utilizar a fórmula do termo geral da PG. Temos que: a1 = 2q = 3 e n = 10 Dessa forma: a10 = 2 . 3(10 – 1) a10 = 2 x 39 a5 = 2 x 19683 = 39366.

Soma dos termos de uma PG

Podemos calcular a soma dos n termos de uma progressão geométrica a partir da fórmula:

Soma dos termos de uma PG

Sn : Soma dos n termos da PG
a1 : primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG

Exemplo:

Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG (1, 3, 9,…).

Extraímos a informação que a1 = 1q = 3 e n = 5

Exemplo soma dos termos de uma PG

Soma dos termos de uma PG infinita

Podemos calcular a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita quando a razão q for um número entre -1 e 1. Nesses casos, a expressão qn  acaba convergindo para 0.

Logo, temos a seguinte fórmula:

Soma dos termos de uma PG infinita

Lembrando que essa fórmula só se aplica quando a razão q estiver entre -1 e 1.

Produto dos termos de uma PG

Podemos calcular o produto dos n termos de uma PG. Para isso utilize a fórmula:

Produto dos termos de uma PG

Propriedades de uma PG

1 – o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos. Por exemplo: considere a PG (1, 5, 25, 75…). Nesse caso, 5²=1.25 e 25²=5.75.

2 – O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é igual ao produto desses extremos. Por exemplo: considere a PG (a, b, c, d, e, f, …). Nesse caso, a.f=b.e=c.d